Largement accessible, cet ouvrage est la traduction commentée et l'édition d'un écrit arabe anonyme du XIe siècle expliquant des modes généraux de construction des carrés magiques. Il enseigne en effet comment placer dans les cases d'un carré de n'importe quelle dimension des nombres entiers, positifs et différents, en sorte de trouver dans chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales une même somme.
Cette édition constitue la première étude du plus ancien texte conservé présentant des méthodes générales. Elle a été faite d'après deux copies conservées à Istanbul. L'une, qui contient le texte complet, remonte au XVIIIe siècle; l'autre, fragmentaire, est en revanche passablement plus ancienne, puisqu'elle fut écrite en l'en 648 de l'hégire (soit 1250 de l'ère chrétienne).
Après un rappel de quelques notions fondamentales sur les nombres naturels, principalement extraites des «Eléments de géométrie» d'Euclide, l'auteur enseigne diverses sortes d'arrangements magiques des n2 premiers nombres naturels dans un carré d'ordre n. Une seconde partie étudie comment remplir un carré lorsque n nombres donnés doivent en occuper des cases particulières.

L'auteur (inconnu) de ce traité a fait une synthèse des connaissances de son temps sur les carrés magiques; il les a ordonnées et surtout les a présentées avec une exceptionnelle clarté. On sera dès lors moins surpris que son ouvrage, qui a été recopié jusqu'au XVIIIe siècle, puisse être lu aujour-d'hui aussi bien qu'alors avec plaisir et profit.

Introduction - Quelques définitions - Ecrits arabes sur les carrés magiques - Contenu de l'Arrangement harmonieux - Manuscrits de l'Arrangement harmonieux - Conventions d'édition. Traduction du texte - Introduction et préliminaires - Carrés magiques en nombres consécutifs d'ordre impair - Carrés magiques en nombres consécutifs d'ordre pairement pair - Carrés en nombres consécutifs d'ordre pairement impair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre impair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre pairement pair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre pairement impair - Appendices. Texte arabe - Introduction et préliminaires - Carrés en nombres consécutifs d'ordre impair - Carrés en nombres consécutifs d'ordre pairement pair - Carrés en nombres consécutifs d'ordre pairement impair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre impair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre pairement pair - Carrés en nombres non consécutifs d'ordre pairement impair - Texte arabe - Appendices.

Alain Schärlig a redécouvert comment les anciens Grecs effectuaient leurs opérations arithmétiques au moyen de cailloux; ce fut Compter avec des cailloux. Il a ensuite mis en ordre et complété ce que l’on sait des mêmes techniques utilisées au Moyen Age et à la Renaissance, dans Compter avec des jetons.

Un livre passionnant, qui mêle harmonieusement l’Histoire et le calcul élémentaire.

Ouvrage original et sans équivalent…

L'une des contributions scientifiques les plus originales du monde musulman est sans doute le développement de méthodes générales de construction des carrés magiques, permettant donc de remplir un carré ayant un nombre carré de cases par une suite de nombres naturels différents en telle sorte que la somme dans chacune des lignes et des colonnes, ainsi que dans chacune des deux diagonales principales, soit la même.