Euler et le parcours du cavalier

Avec une annexe sur le théorème des polyèdes

PPUR - Collection : Histoire des mathématiques - 12/01/2015

Présentation

Le problème du cavalier consiste à parcourir toutes les cases d’un échiquier, et une seule fois chacune, en sautant à une case distante de deux cases horizontalement et d’une case verticalement, ou inversement. S’il n’est guère difficile de couvrir une cinquantaine de cases, les tentatives de couvrir tout l’échiquier se révéleront le plus souvent décourageantes. C’est pourquoi la découverte d’un moyen de parvenir à un trajet complet a définitivement associé ce problème au nom de Euler (1707-1783). Cet ouvrage rapporte l’ensemble de ses recherches, en tenant compte de ses notes manuscrites inédites (reproduites aussi en appendice). De même, son théorème des polyèdres, l’une de ses autres découvertes majeures, est enrichi ici par sa première démonstration, restée manuscrite. Cet ouvrage intéressera les étudiants et les enseignants de mathématiques, mais aussi un public plus général, car les raisonnements d’Euler ne font appel à aucune connaissance profonde des mathématiques. Ne sachant comment aborder le problème du cavalier, Euler recourt aux essais, et peu à peu établit une théorie en fonction du succès ou de l’insuccès de ses tentatives. Pour le théorème des polyèdres, ce sont des analogies avec le cas des polygones qui le mèneront à la démonstration. Dans les deux cas, le lecteur assistera ici à la naissance et au développement d’une théorie nouvelle.

Sommaire

Préface
Introduction
Chapitre I : Etablissement d’un trajet complet – § 1. Extension d’un trajet partiel – § 2. Transformations d’un trajet complet – § 3. Etablissement d’un trajet complet – § 4. Figures isolées de trajets fermés
Chapitre II : Trajets symétriques – § 1. Etablissement d’un trajet symétrique – § 2. Transformations d’un trajet symétrique complet
Chapitre III : Trajets sur d’autres figures – § 1. Cas particulier du demi-échiquier – § 2. Figures carrées – § 3. Figures rectangulaires – § 4. Figures cruciformes – § 5. Figures rhombiques
Chapitre IV : Prédécesseurs d’Euler – § 1. Le parcours du cavalier en Orient musulman – § 2. Le parcours du cavalier en Inde – § 3. Le parcours du cavalier en Occident avant Euler
Annexe : Le théorème d’Euler sur les polyèdres – § 1. Les polyèdres réguliers dans l’Antiquité – § 2. Les démonstrations d’Euler – § 3. Démonstrations de Legendre et de Cauchy – § 4. La démonstration de Lhuilier – § 5. Descartes et le théorème
Bibliographie
Index
Appendice I : L’article imprimé d’Euler sur le parcours du cavalier
Appendice II : Les pages manuscrites d’Euler sur le parcours du cavalier